Section 1, page 72

1. Le jour J

a) 185 000 / 745 = 248.

b) 745 / 38 = une vingtaine.

c) 18 000 / 1087 ≈ 16.

d) 13 175 / 1087 = 12.

2. Si j'avais un char...

Total des prix des neuf automobiles: 144 860 $. Moyenne: 144 860 / 9 = 16 096 $.

3. La moyenne et les fréquences

a) Total des 12 taux: 73,475. Moyenne: 6,12. Le taux d'intérêt moyen est de 6,12 %.
Attention!, il y a bien 12 valeurs différentes et non 6.

b) Julie: (40 × 0,1) + (50 × 0,2) + (60 × 0,1) + (70 × 0,2) + (80 × 0,4) = 4 + 16 + 4 + 8 + 24 = 66.
Julot: 8 + 16 + 4 + 8 + 24 = 60.

Section 2, page 78

1. Les empereurs romains: l'essayer, c'est l'adopter

a) et b) Voir le tableau ci-après. Nerva ayant fondé sur le tard la dynastie des Antonins, on peut considérer qu'il n'est pas représentatif: c'est pourquoi nous avons refait les calculs pour la dynastie des Antonins sans Nerva.

c) Les Antonins sont généralement plus vieux que les Césars au moment où ils accèdent au trône (44,5 ans contre 37,6), mais la situation varie beaucoup d'un empereur à l'autre. La durée moyenne du règne est sensiblement la même d'une dynastie à l'autre, surtout si on exclut le cas un peu particulier de Nerva. Les règnes de la dynastie des Césars ont cependant une durée beaucoup plus irrégulière (l'écart type est nettement plus élevé) que ceux de la dynastie des Antonins (étant donné le nombre limité de cas, on peut d'ailleurs faire la même observation en regardant les chiffres bruts).

Note: Dans le calcul des âges de Tibère et de Claude (la génération intermédiaire de la dynastie), nous avons commis une petite erreur de méthode, qui se retrouve dans le tableau 3.1 du livre (page 66). Puisque Tibère est né en –42 et qu'il est mort en 37, on peut considérer qu'il a vécu environ 42 + 37 – 1 ans (soit 78 ans et non 79). En effet, l'an zéro n'a jamais existé puisqu'on passe directement de l'an –1 à l'an 1. La même distorsion se retrouve pour la durée du règne d'Auguste, qui chevauche aussi les deux ères. Étant donné que nos calculs ont un degré de précision de plus ou moins un an (les dates considérées peuvent se situer entre le 1 janvier et le 31 décembre d'une année), cette distorsion porte peu à conséquence ici. Notons que l'erreur aurait été évitée si nous avions utilisé le calendrier romain, qui part de la fondation de Rome (l'an 753 avant J-C correspondant à l'an 1 de l'ère romaine). Selon ce calendrier, Tibère est né en l'an 712 et il est mort en l'an 790: le compte est bon!

2. Chansons pour danser, chansons pour écouter

a) Voir le tableau ci-dessous.

b) Réponses personnelles.

Section 3, page 85

1. La taille des Québécois

En réalité, l'écart type est ici de 7 cm. Nous donnerons donc deux séries de réponses: une avec un écart type de 6 cm (tel qu'il est spécifié dans le libellé de la question) et de 7 cm.

Écart type = 7 cm

a) 183 cm correspond à 1'écart type (7 cm) à droite de la moyenne. Il y a donc 34,1 % des gens qui sont situés entre la moyenne et l'écart type. Il reste 50 % – 34,1 % = 15,9 % de gens qui mesurent plus de 183 cm.

b) 185 cm correspond à (185 – 176) / 7 = 1,3 écart type à droite de la moyenne. La table normale donne alors une valeur de 0,403. Cela signifie qu'il y a 40,3 % des gens entre la moyenne et 1,3 écart type. Il reste donc 50 % – 40,3 % = 9,7 % de gens qui mesurent plus de 185 cm.

c) 162 cm correspond à (162 – 176) / 7 = –2 écart type à gauche de la moyenne. La table normale donne alors une valeur de 0,477. Il reste donc 50 % – 47,7 % = 2,3 % de gens qui mesurent moins de 162 cm.

d) 15,9 % des gens mesurent plus de 183 cm (question a), et 9,7 % des gens mesurent plus de 185 cm (question b)). Il y a donc 15,9 % – 9,7 % = 6,2 % des gens qui mesurent entre 183 et 185 cm.

e) 2 écarts types correspondent à 2 × 7 cm = 14 cm. César-Auguste mesure 176 – 14 = 162 cm.

Écart type = 6 cm

a) 183 cm correspond à 1,17 écart type (7 cm) à droite de la moyenne. Il y a donc, selon la table normale, 37,9 % des gens qui sont situés entre la moyenne et l'écart type. Il reste 50 % – 37,9 % = 12,1 % des gens qui mesurent plus de 183 cm.

b) 185 cm correspond à (185 – 176) / 6 = 1,5 écart type à droite de la moyenne. La table normale donne alors une valeur de 0,433. Cela signifie qu'il y a 43,3 % des gens entre la moyenne et 1,5 écart type. Il reste donc 50 % – 43,3 % = 6,7 % de gens qui mesurent plus de 185 cm.

c) 162 cm correspond à (162 – 176) / 6 = –2,33 écart type à gauche de la moyenne. La table normale donne alors une valeur de 0,490. Il reste donc 50 % – 49,0 % = 1,0 % de gens qui mesurent moins de 162 cm.

d) 12,1 % des gens mesurent plus de 183 cm (question a), et 6,7 % des gens mesurent plus de 185 cm (question b)). Il y a donc 12,1 % – 6,7 % = 5,4 % des gens qui mesurent entre 183 et 185 cm.

e) 2 écarts types correspondent à 2 × 6 cm = 12 cm. César-Auguste mesure 176 – 12 = 164 cm.

2. Cote z

a) Cote z de Julie = (88 – 64) / 12 = 24 / 12 = 2.

b) Cote z de Julot = (85 – 60) / 10 = 2,5.

c) Julie a une meilleure note absolue que Julot, mais ce dernier est relativement mieux placé par rapport à son groupe. Si on admet que le niveau de difficulté du cours et des examens est le même pour tous, il faut reconnaître que Julie a eu la meilleure note et que le bon classement de Julot est attribuable au fait que ce dernier appartient à un groupe faible. Si on estime au contraire que la moyenne basse du groupe de Julot s'explique par le fait que le professeur de Julot est plus sévère, on peut alors considérer que Julot est meilleur que Julie. Tout cela paraît bien arbitraire. Il faut espérer que les universités trouvent une méthode un peu plus scientifique.

3. Courbe normale et proportions

a) 0,341 = 34,1 %.

b) 0,477 = 47,7 %.

c) 0,5 – 0,4987 = 0,0013 = 0,13 %.

d) 0,341 + 0,341 = 0,682 = 68,2 %.

e) 0,341 + 0,477 = 0,818 = 81,8 %.

Section 4, page 91

Les hommes

Étendue: de 62 à 74, soit 12 ans, comme pour les femmes.

Médiane: 65. Mode: 65.

Coefficient de variation: 4,3 / 67,7 = 0,063 = 6,3 %.

Exercices supplémentaires, page 92

1. Le train? Pas dangereux!

Cet exercice illustre à quel point il est important de bien analyser la situation avant de se lancer dans des calculs. Il s'agit bien de méthodes quantitatives et non de simples techniques. Certains étudiants auront spontanément divisé la somme des valeurs par 13 (le nombre de données directement affichées). D'autres auront divisé cette somme par 20 (soit 1992 – 1972). En réalité, nous disposons de données pour 21 années consécutives. Les années sans accident sont évidemment à considérer et propres à faire baisser la moyenne.

a) Total sur 21 ans: 287. Moyenne: 287 / 21 = 13,67 (environ 14 victimes par an).

b) Écart type: 28,26.

2. Une moyenne délicate

a) 880 millions / 845 = 1,041 millions = 1 041 000 de locuteurs.

En Inde, on pourrait exclure le hindi du calcul (et peut-être d'autres langues ayant une grande diffusion si on avait l'information nécessaire). Il reste donc 540 millions d'Indiens (880 – 340) qui se partagent les 844 langues autres que le hindi. En moyenne, chaque langue est parlée par 640 000 personnes (soit 540 millions / 844).

b) 4,1 millions / 700 = 0,005857 millions = 5857 locuteurs.

En Papouasie, le nombre élevé de langues s'explique par l'isolement géographique des populations et le fait que celles-ci ont longtemps vécu en circuit fermé. Contrairement à l'Inde, aucune langue ne semble prédominer. De toute façon, le nombre moyen de locuteurs par langue est extrêmement faible: environ 6000 personnes (4,1 millions / 700).

Ceux que le sujet intéresse constateront, en consultant des ouvrages, que ceux-ci divergent parfois sur le nombre de langues parlées dans un pays donné. Il est en effet important de s'entendre sur la notion de langue avant même de se disputer sur les virgules: où s'arrête un dialecte et ou commence une langue? Cependant, nos chiffres sont déjà révélateurs: de la richesse linguistique humaine, d'une part, et du fait que des langues peuvent survivre dans une population très restreinte, d'autre part.

3. Seul dans le noir

a) 1727 / 66 4 = 2,6 écrans par salle.

b) 78 812 milliers / 1727 = 45,635 milliers = 45 635 spectateurs par écran et par an.

c) 400,5 millions / 78 812 milliers = (400,5 × 1000) / 78 812 = 5,08 $.

4. Recherche: Simon, José, Miguel et les autres

a) et b) Voir le tableau ci-dessous.

c) On constate dans le tableau que la plupart des pays d'Amérique hispanophone ont acquis leur indépendance au début du XIXe siècle (moyenne = 1829) et que cela s'est fait à peu près en même temps pour tous les pays (écart type = 26,8 seulement). Remarquez qu'on n'avait pas vraiment besoin de faire tous ces calculs pour s'en apercevoir.

5. Une moyenne piégée

a) La moyenne d'enfants est de [(500 × 3) + (500 × 0)] / 1000 = 1,5.
Plus simplement, puisque les deux valeurs possibles (3 enfants et 0 enfant) sont réparties en parts égales, on peut faire: (3 + 0) / 2 = 1,5.

b) On serait tenté de dire que, puisqu'il y a 1,5 enfant par famille, chaque enfant possède 0,5 frère ou sœur. Mais ici encore, l'interprétation de la question a plus d'importance que le calcul lui-même. Dans les 500 familles de 3 enfants, il y a 2 frères et sœurs. Dans les 500 autres familles, il n'y a pas d'enfant et encore moins de frère ou de soeur. Tous les enfants (qui existent) ont 2 frères et sœurs: le nombre moyen de frères et sœurs est de 2.

7. Un pays sans classes

a) Les 1 % plus fortunés détiennent 46 % des actions. Les 9 % suivants détiennent 89 – 46 = 43 % des actions. Les 90 % moins fortunés détiennent le reste, soit 100 – 89 = 11 % des actions.

b) 50 %, par définition.

c) La même proportion de riches (10 %) détient une proportion plus grande de richesse en 1992 qu'en 1979 (42 % contre 21 %).

8. Changement de médiane

a) Vrai.

b) Faux.

c) C'est très probable, mais ce n'est pas certain.

9. À l'autre bout du monde

a) Moyennes (1, 2, 3); médianes (5, 7, 9); proportions (4, 10 à 14); autres (6, 8, 15).

b) La moitié des femmes.

c) i) Il s'agit de la taille moyenne et non de la taille médiane. Ces deux chiffres ne sont pas forcément identiques.

ii) La moitié des femmes se marient avant 26,6 ans et l'autre moitié, après. Il s'agit donc d'une médiane et non de la moyenne.

iii) Il ne s'agit pas de la proportion de femmes mariées, mais d'un rapport entre deux variables: le nombre de mariages et le nombre d'habitants.

iv ) Cela est vrai pour le groupe des femmes âgées de 20 à 24 ans. On ne sait rien en ce qui concerne l'ensemble des femmes.

v ) Il ne s'agit pas du rapport femmes / hommes, mais de la proportion de femmes. Il y a au contraire un peu plus de femmes que d'hommes à l'université.

vi) En réalité, il faudrait dire que les femmes gagnent, en moyenne, 18,4 % de moins que les hommes. Les hommes, quant à eux, gagnent 18,4 / 81,6 = 0,225 = 22,5 % de plus que les femmes.

d) Voir la figure ci-dessous.

e) Ce ratio diminue: 2,92 en 1964; 2,90 en 1974; 2,88 en 1984 et 2,85 en 1994.

10. Recherche

Réponses personnelles.