Histoire
La taxation équitable en Chine ancienne

★ ★ Proportions - Autres rapports
Le texte ci-dessous est tiré des Neuf chapitres sur l'art mathématique, ouvrage classique chinois datant du Ier siècle et cité par Kiyosi Yabuuti dans Une histoire des mathématiques chinoises, (Éditions Belin. Pour la science). Non seulement le cas étudié explique une méthode de calcul des proportions, mais il montre que le principe d'équité, aussi bien dans le partage de l'impôt que dans le partage des moyens de transport, aidait à faire accepter le système de taxation du régime impérial.


«Soit le transport équitable de millet: la préfecture A comprend 10 000 foyers et se trouve à 8 jours de l'entrepôt; la préfecture B comprend 9500 foyers et se trouve à 10 jours de l'entrepôt; la préfecture C comprend 12 350 foyers et se trouve à 13 jours de l'entrepôt; la préfecture D comprend 12 200 foyers et se trouve à 20 jours de l'entrepôt. On répartit entre les quatre préfectures 250 000 setiers [de 94,88 l] à transporter en 10 000 chariots. Si l'on veut que le partage soit proportionnel à la distance et au nombre de foyers, quels sont les quantités de millet et le nombre de chariots?»

L'équité veut ici que la quantité de grain versée par chaque préfecture à l'État soit proportionnelle à la population (mesurée en foyers). Il faut aussi répartir les moyens de transport de façon à permettre à chaque préfecture de finir ses livraisons en même temps. Si la solution du problème semble compliquée à première vue, elle devient relativement simple lorsqu'on la présente sous forme de tableau: c'est pourquoi nous utiliserons ici un chiffrier.

Essayons au préalable de visualiser la situation par quelques calculs simples. Les 250 000 setiers à payer sont répartis sur environ 44 000 foyers, soit 5 à 6 setiers (environ 540 litres en tout) par foyer. On pourrait être tenté d'affirmer qu'un chariot de l'époque pouvait transporter 250 000 / 10 000 = 25 setiers de grain, soit environ 2400 litres ou près de 3 tonnes. Cependant il est probable qu'un chariot faisait plusieurs voyages. Quoi qu'il en soit, on peut facilement imaginer les convois, les routes, les charretiers, les buffles et les mulets... sans oublier les mandarins chargés de faire les calculs nécessaires. Si on veut bien s'en donner la peine, on peut revivre une réalité vieille de 2000 ans.

  A B C D E F G H
1 Problème de la taxation et du transport équitables
2 Préfecture Nombre de foyers Proportion (en %) Impôt à payer Distance de l'entrepôt (en jours) Impôt × Distance Proportion (en %) Chariots
3 A 10 000 22,7 56 754 8 454 030 13,8 1 380
4 B 9 500 21,6 53 916 10 539 160 16,4 1 639
5 C 12 350 28 70 091 13 911 180 27,7 2 770
6 D 12 200 27,7 69 240 20 1 384 790 42,1 4 210
7 Total 44 050 100 250 000   3 289 160 100 10 000
Source: Kiyosi Yabuuti, Une histoire des mathématiques chinoises, p. 34, Belin, Paris, 2000.
D'après Les Neuf chapitres sur l'art mathématique (vers le 1er siècle).
Note: 1 setier = 10 boisseaux = 94,88 l.

Les chiffres inscrits dans les cases «blanches» du tableau sont extraits directement du texte. Les cases jaunes contiennent des données dérivées. La case C3, par exemple, représente la proportion de foyers habitant la préfecture A, soit B3 / B7. Cette proportion sert à calculer le montant d'impôt que cette préfecture doit verser, soit D3 = C3 / D7.
Pour distribuer les chariots, on multiplie les quantités à transporter par la distance à parcourir: F3 = D3 × E3. On peut alors comparer les besoins de chaque préfecture (colonne F3 à F6) que l'on convertit en proportions dans la colonne suivante: G3 = F3 / F7 etc.). Puisque la préfecture A a besoin de 13,8 % des chariots (case G3), on doit lui allouer 1380 chariots: H3 = G3 × H7.

Questions


Reconstituez le tableau à l'aide d'un chiffrier

 

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